Richiami di matematica di base per lo studio della chimica

di Pellegrino Conte

INTRODUZIONE

Nella chimica, come nelle altre scienze di base, lo scopo fondamentale è l’analisi e la comprensione descrittiva dei fenomeni al fine di individuare delle leggi generali in grado di fare delle previsioni. La base fondamentale del metodo scientifico risiede, quindi, nell’osservazione del fenomeno, nella sua ripetibilità e conseguente misurabilità. Un fenomeno casuale, ovvero non ripetibile, non è misurabile. Come conseguenza, non è possibile trarre per esso delle leggi previsionali.
scienze integrateCi sono diversi motivi per cui un fenomeno può essere casuale. Tra questi grande importanza hanno gli errori nelle misure sperimentali oppure il fatto che il fenomeno sia avvenuto senza il controllo delle condizioni al contorno, cioè si sia verificato un cambiamento nelle condizioni sperimentali durante l’esecuzione dell’esperimento. Un esempio potrebbe essere una variazione di temperatura, pressione o altro di cui non ci si è accorti.
Da quanto argomentato, il metodo scientifico si basa sulla misura sperimentale che a sua volta si basa sull’interpretazione dei numeri che sono come l’alfabeto per una lingua: senza di esso non è possibile costruire né le parole né tantomeno le frasi per affrontare un discorso di senso compiuto.
Lo scopo di questi appunti è quello di fornire i primi rudimenti del linguaggio matematico usato per l’interpretazione dei risultati sperimentali con particolare attenzione ai bisogni della chimica.  In particolare, questi appunti sono un utile riferimento per gli studenti del primo e secondo anno delle ex Facoltà di Agraria che si avvicinano allo studio della chimica generale e della chimica del suolo.  Con queste note, non si intende assolutamente sostituire i normali corsi di analisi matematica indispensabili per acquisire sia il linguaggio che la mentalità scientifica.  Piuttosto si desidera fare in modo che alla fine della lettura di questi appunti, lo studente abbia compreso come leggere un numero dopo aver effettuato una misura sperimentale.

 

NOTAZIONE SCIENTIFICA

Con l’affermazione dei moderni elaboratori elettronici l’uso della notazione scientifica o esponenziale è ormai diventata familiare ai più. Essa consiste nello scrivere i numeri sotto forma di potenze intere di 10, ovvero si deve distinguere un coefficiente (un numero compreso tra 1 e 9) ed un esponenziale (il 10 elevato a potenza) che viene indicato anche come ordine di grandezza del numero in esame. Questa notazione è necessaria in campo scientifico perché consente di evitare di manipolare numeri o troppo grandi o troppo piccoli il cui uso disturba la lettura ed appesantisce i calcoli. Un esempio è la carica elettrica di un elettrone che corrisponde a 0.00000000000000000016 Coulomb o la distanza percorsa dalla luce in un anno che corrisponde a 9460000000000000 metri.
Ricordando che 101 = 10,  102 = 10 x 10,  etc e che 10-1 = 1/10 = 0.1,   10-2 = 1/102 = 1/(10 x 10) = 0.01 etc.  si può scrivere come esempio di notazione scientifica:
2500=2.5 x 103;   150000=1.5 x 105;   10=1 x 10;   0.1=1 x10-1;   0.001=1 x 10-3;   0.0000524=5.24 x 10-5;   0.00000000000000000016=1.6 x 10-19;   9460000000000000=9.46 x 1015.
Nell’esempio appena letto, i diversi numeri sono di ordini di grandezza differenti. Per esempio tra 2.5 x 103 e 1.5 x 105 ci sono due ordini di grandezza di differenza mentre tra 1.6 x 10-19 e 9.46 x 1015 ci sono ben 49 ordini di grandezza di differenza.   L’ordine di grandezza del primo numero (2.5 x 103) è delle migliaia (103), quello del secondo numero (1.5 x 105) delle centinaia di migliaia (105).  La differenza tra gli esponenti è proprio la differenza tra gli ordini di grandezza.
Si noti che la notazione usata per il raggruppamento delle cifre e per la separazione dei decimali è quella anglosassone in cui il “.” (punto) viene usato al posto della “,” (virgola) dal momento che l’Inglese è il linguaggio scientifico oggi riconosciuto per la divulgazione delle informazioni.
Le operazioni con i numeri esponenziali si effettuano ricordando che esse vanno effettuate sia sui coefficienti che sugli esponenziali.
Esempio 1:
(2.3 x 10-1) x (1.2 x 10-5) = (2.3 x 1.2) x (10-1 x 10-5) = 2.76 x 10-6
(2.3 x 10-1) / (1.2 x 10-5) = (2.3 / 1.2) x (10-1 / 10-5) = 1.916 x 10-4
(2.3 x 10-1) + (1.2 x 10-1) = (2.3 + 1.2) x 10-1 = 3.5 x 10-1
(2.3 x 10-1) + (1.2 x 10-2) = (2.3 x 10-1) + ( 0.12 x 10-1) = 2.42 x 10-1
(2.3 x 10-1) – (1.2 x 10-2) = (2.3 x 10-1) – ( 0.12 x 10-1) = 2.18 x 10-1
Si noti come per la somma e la differenza, i numeri sono stati resi confrontabili trasformando gli esponenziali in modo tale da mostrare la stessa potenza.

 

LE UNITA’ DI MISURA.   I MULTIPLI ED I SOTTOMULTIPLI

Come evidenziato nel paragrafo precedente, l’uso della notazione scientifica è fondamentale quando si devono esprimere le misure di grandezze fisiche.
Una grandezza fisica è una qualsiasi proprietà di un sistema che può essere suscettibile di misura. Per esempio, l’altezza di un tavolo, ovvero la distanza tra il pavimento e la sua superficie, è una grandezza fisica dal momento che può essere misurata.
Fare una misura di una grandezza fisica vuol dire confrontare tale grandezza con una analoga usata come riferimento. Affinché due grandezze possano essere confrontate esse devono essere consistenti, ovvero una lunghezza va confrontata con una lunghezza, una superficie con una superficie, un volume con un volume etc etc.
La misura si esprime moltiplicando un numero per una unità dimensionale. Le unità dimensionali associate alle grandezze fisiche sono definite nel sistema internazionale (SI) come in Tabella 1.

Tabella 1.  Denominazione di alcune grandezze fisiche ed espressione delle corrispondenti unità di misura.

Grandezza fisica

Simbolo della grandezza

Unità

Simbolo dell’Unità

Lunghezza

l

metro

m

Massa

m

chilogrammo

kg

Tempo

t

secondo

s

Corrente elettrica

I

ampére

A

Temperatura termodinamica

T

kelvin

K

Quantità di materia

n

mole

n

Intensità luminosa

Iv

candela

cd

Alla luce di quanto appena riportato, dire che l’altezza di un tavolo è di 1 m significa che la distanza tra il pavimento e la superficie del tavolo è pari a quella tra le due estremità di una sbarra che viene presa come riferimento ed indicata come “metro” (la definizione corretta di metro è quella che lo considera come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/299792458 di secondo). Si rimanda ai testi di fisica per la definizione corretta delle varie unità di misura elencate nella tabella precedente.

La dimensione di una grandezza fisica può essere sia una frazione che un multiplo delle unità elencate in Tabella 1. Qui di seguito i multipli e sottomultipli delle unità SI in notazione scientifica.

Tabella 2.   Multipli e sottomultipli delle unità di misura in notazione scientifica.

Sottomultipli

Multipli

fattore

nome

simbolo

fattore

nome

simbolo

10-1

deci

d

10

deca

da

10-2

centi

c

102

etto

h

10-3

milli

m

103

chilo

k

10-6

micro

m

106

mega

M

10-9

nano

n

109

giga

G

10-12

pico

p

1012

tera

T

10-15

femto

f

1015

peta

P

10-18

atto

a

1018

exa

E

Sulla base delle Tabelle 1 e 2, una distanza pari ad 1 mm corrisponde a 10-3 m ovvero alla millesima parte del metro. Allo stesso modo una distanza di 1 m corrisponde alla milionesima parte del metro.

 

COSA SIGNIFICA FARE UNA MISURA SPERIMENTALE

Come evidenziato nel primo paragrafo, affinché un fenomeno possa essere studiato è necessario che esso sia ripetibile, ovvero che si ripeta sempre nello stesso modo ogni qual volta esso viene studiato. Studiare un fenomeno significa individuare una grandezza fisica associata al fenomeno ed effettuarne delle misure quantitative. La variazione nelle misure consente di determinare la legge generale in grado di descrivere il fenomeno. A titolo di esempio si consideri la seguente reazione chimica che descrive la formazione della ruggine:
3Fe + 4H2O  →  Fe3O4 + 4H2

esempio di manometro

Fig. 1 – Esempio di manometro. Il gas sviluppato dalla reazione spinge su una colonna di liquido che si innalza fino ad un certo livello che viene letto usando un’opportuna scala graduata. (fonte: Wikimedia Commons)

Se si intende studiare la velocità con cui si forma la ruggine è necessario innanzitutto individuare una qualsiasi grandezza che consenta di descrivere la reazione. La grandezza che si può prendere in considerazione è la quantità di idrogeno (H2) gassoso che si forma e che varia nel tempo.  Si misura la pressione di idrogeno che si evolve a 1 minuto, 2 minuti, 10 minuti, 30 minuti etc dall’inizio della reazione. Una volta raccolti i dati sperimentali si disegna un grafico dal quale si ottiene la legge cinetica attraverso processi di interpolazione grafica. Per lo studio dettagliato della cinetica si rimanda alla lezione apposita. Ciò che si intende evidenziare qui è il processo di misura che consiste nel valutare il cambiamento della pressione di idrogeno man mano che la reazione evolve. La pressione può essere misurata con un manometro (figura 1). Cambiando manometro, il risultato non cambia. Ciò che può cambiare è il numero di cifre con cui la pressione misurata viene espressa.

 

I NUMERI NELLE MISURE SPERIMENTALI

Il modo di maneggiare i numeri nelle scienze sperimentali è molto diverso da quello della matematica. Per esempio la √(2) è un numero che si può esprimere come 1.4142135623730950488016… In pratica da un punto di vista matematico si possono scrivere infinite cifre per la radice quadrata di 2. Allo stesso modo il rapporto 1/3 si esprime matematicamente come 0.3333333….., ovvero uno 0 seguito da infiniti 3.
Da un punto di vista sperimentale, esprimere la misura di una grandezza con un numero infinito di cifre non ha alcun senso.
Supponiamo di fare una pesata usando diversi tipi di bilance. Una bilancia misura un peso di 1 g, una seconda un peso di 1.0 g, una terza un peso di 0.99 g ed una quarta 0.988 g.
Riassumendo:
pesata 1:   1 g
pesata 2:   1.0 g
pesata 3:   0.99 g
pesata 4:   0.988 g

Che differenza c’è tra le diverse pesate?
La prima bilancia pesa con l’approssimazione del grammo. La seconda bilancia approssima al decimo di grammo, la terza al centesimo di grammo e l’ultima approssima la pesata al millesimo di grammo. Cosa significa approssimazione al grammo, decimo di grammo, centesimo di grammo o millesimo di grammo? Significa semplicemente che la bilancia è uno strumento che consente di misurare il peso di un corpo con un certo margine di errore dovuto alla lettura della scala della bilancia.

Esempio di lettura di due scale di bilancia

Fig. 2 – Esempio di lettura di due scale di bilancia

La figura 2 mostra due scale con due livelli di accuratezza differenti. La freccia a sinistra indica un punto della scala che è vicino ad 1. Tuttavia, dal momento che fra 0.5 ed 1 non c’è gradazione, non è possibile stabilire con accuratezza quanto il valore letto si discosti da 1. La freccia a destra, al contrario, indica un punto su una scala con una suddivisione in intervalli più piccoli. Per questo motivo è possibile leggere che il valore della misura (il peso) non è 1.0, ma 0.9.

In altre parole, la scala a sinistra consente di leggere il valore della misura per intervalli di 0.5 unità, mentre la scala a destra consente di leggere per intervalli di 0.1 unità. Aumentando la suddivisione della scala è possibile aumentare il grado di accuratezza della misura. Da quanto descritto, si capisce che il limite sul numero di cifre con cui esprimere una misura dipende da quanto accurata è la scala strumentale. Come conseguenza, non è possibile esprimere il valore di una misura con un numero di cifre infinito.

 

LE CIFRE SIGNIFICATIVE.   ACCURATEZZA E PRECISIONE

matematicaIl massimo numero di cifre che si legge su uno strumento prende il nome di “numero di cifre significative”. Quando il peso di un campione viene indicato come 1 g, 1.0 g oppure 0.998 g, vuol dire che le bilance usate per la misurazione hanno accuratezza differente. Nel primo caso (1 g) il peso è espresso con una sola cifra significativa, nel secondo caso (1.0 g) con due e nell’ultimo caso (0.998 g) con tre. Questo esempio consente di specificare quali sono le regole che bisogna seguire per individuare il numero di cifre significative in una misura sperimentale.

1.   Sono cifre significative tutte le cifre non nulle presenti nel numero che esprime la misura sperimentale
2.   Lo zero compreso tra numeri non nulli è una cifra significativa
3.   Gli zeri che seguono numeri non nulli sono anch’essi cifre significative
4.   Lo zero all’inizio del numero che esprime la misura sperimentale non è una cifra significativa
5.   Tutti gli esponenziali in un numero espresso in forma scientifica non sono cifre significative.

Esempio 2:
individuare il numero di cifre significative nelle seguenti misure:
a.    1 m
b.    1.200 g
c.    1 x 103 kg
d.    0.00000000001234 g

Nel caso a. c’è una sola cifra significativa. Nel caso b. ci sono quattro cifre significative. Infatti, i due zeri seguono una cifra non nulla (il 2). Nel caso c. il numero di cifre significative è uno solo dal momento che gli esponenziali non sono cifre significative. Nel caso d. ci sono quattro cifre significative in quanto tutti gli zeri prima del primo numero non nullo non sono cifre significative.
Il massimo numero di cifre significative con cui si esprime il valore di una misura sperimentale viene anche indicato come accuratezza della misura.
L’accuratezza di una misura si riferisce alla differenza tra il valore vero della grandezza misurata ed il valore della misura effettuata. Usando come esempio un bersaglio per freccette (figura 3), l’accuratezza corrisponde alla situazione illustrata in figura 3a. Frecce diverse colpiscono tutte nell’intorno dello stesso punto. Questo vuol dire che le misure rappresentate dalle frecce in figura 3a sono più accurate, perché più vicine al valore vero della grandezza fisica misurata (il centro del bersaglio), rispetto a quelle della figura 3b. Tuttavia bisogna notare come sia le frecce di figura 2a che quelle di figura 3b siano concentrate in una zona molto ristretta del bersaglio. In entrambi i casi le frecce hanno colpito il bersaglio con la stessa precisione. La precisione si riferisce al fatto che il valore numerico di una misura ripetuta più volte è all’incirca sempre lo stesso. In altre parole la precisione si riferisce alla ripetibilità di una misura. Un misura non ripetibile dà sempre valori differenti e fornisce un insieme di dati né precisi né accurati come in figura 3c, ovvero le misure sono disperse.

Differenza tra accuratezza e precisione

Fig. 3. Differenza tra accuratezza e precisione. (a) le misure sono accurate e precise; (b) le misure sono precise ma non accurate; (c) le misure non sono né accurate né precise (fonte: Wikimedia Commons)

Il valore vero è un concetto ideale. Può essere considerato come l’analogo matematico del valore della radice quadrata di 2 discusso nel paragrafo precedente, ovvero un valore numerico con infinite cifre significative. A causa delle limitazioni già discusse, il valore della misura è solo un’approssimazione, accurata quanto si vuole, del valore vero. La differenza tra il valore vero e quello della misura costituisce l’errore. Più è grande l’errore, meno accurata è la misura.

Eq. 1 - Stima approssimata del valore veroLa stima approssimata del valore vero viene effettuata attraverso la ripetizione della misura e la valutazione della media aritmetica (equazione 1).
Nell’equazione (1) xì è l’i-esimo valore associato alla i-esima misura sperimentale mentre N è il numero totale di misure effettuate.

Esempio 3:
un campione viene pesato 10 volte su una bilancia a 3 cifre decimali. Si ottengono le seguenti misure espresse in grammi (g):
1.    1.002
2.    0.998
3.    1.004
4.    1.002
5.    0.999
6.    1.003
7.    1.003
8.    0.998
9.    1.002
10.    0.999

La media delle 10 misure in base all’equazione (1) è 1.001 g che corrisponde, quindi, al valore vero del peso del campione esaminato.
Dall’esempio precedente si nota come le 10 misure fatte non diano tutte lo stesso valore, ma oscillino intorno al valore medio calcolato in base all’equazione (1). Questo vuol dire che ognuna delle 10 misure differisce dal valore vero di una quantità data dalla differenza tra la singola misura e la media:
1   . 1.002-1.001= 0.001
2.    0.998-1.001= -0.003
3.    1.004-1.001= 0.003
4.   1.002-1.001= 0.001
5.    0.999-1.001= -0.002
6.   1.003-1.001= 0.002
7.    1.003-1.001= 0.002
8.    0.998-1.001= -0.003
9.    1.002-1.001= 0.001
10.    0.999-1.001= -0.002

Eq. 2 - Deviazione standardLo scarto medio delle misure (o deviazione standard o errore sperimentale) che tiene conto dell’insieme delle differenze riportate si calcola come:

errore percentuale nelle misureCombinando le equazioni (1) e (2) al set di pesate indicate nell’esempio 2 si ricava che il peso del campione è 1.001 ± 0.002 g ovvero la misura del peso del campione generico preso in esame è affetto da un errore pari a 0.2 %. Questa percentuale si ottiene dal rapporto:

L’esempio appena elaborato consente di ridefinire le cifre significative di una misura come l’insieme di cifre i cui valori sono noti con certezza più la prima tra quelle incerte. La prima delle cifre incerte è quella sulla quale incide l’errore sperimentale. Nell’esempio precedente la media potrebbe essere scritta come: 1.001000000. In base alle regole stabilite in precedenza tutti gli zeri sono delle cifre significative. Tuttavia, per poter essere sicuri di quanti zeri facciano parte delle cifre significative va determinato l’errore come in equazione (2). Il valore che ne viene è 0.002260777. In base a questo ultimo valore si evidenzia come tutti i numeri a partire dalla terza cifra decimale siano affetti da incertezza differente. Le cifre 1.00 hanno valore certo dal momento che l’errore su di esse è pari a 0 (lo zero prima del punto ed i due a seguire dopo il punto nel numero che indica l’errore). A partire dalla terza cifra decimale del numero che esprime la misura sperimentale (cioè i valori sottolineati in 1.001000000) ogni numero è affetto da incertezza. In particolare, la terza cifra decimale (1) oscilla tra +2 e -2; la quarta cifra decimale (0) oscilla tra +2 e -2; la quinta cifra decimale (0) oscilla tra +6 e -6 e così via di seguito. Solo la prima delle cifre incerte va inclusa nelle cifre significative. Come conseguenza tutti gli zero dopo il punto non sono cifre significative e la misura sperimentale media va espressa come indicato in precedenza, ovvero: 1.001 ± 0.002 g.

 

ESPRESSIONE DELL’ERRORE SPERIMENTALE


Nel calcolo degli errori si è riscontrato che l’equazione (2) restituisce matematicamente un numero di cifre potenzialmente infinito. Tuttavia, alla luce della definizione di “cifre significative”, solo la prima cifra non nulla di tutte quelle che vengono dall’equazione (2) deve essere presa in considerazione per la definizione dell’errore di una misura. In altre parole, non si deve mai scrivere un errore con più cifre di quante sono quelle significative presenti nel valore che esprime la misura sperimentale.
Se una misura sperimentale restituisce un valore pari a 1.034 ± 0.012, il modo corretto di indicare la misura è 1.03 ± 0.01. Se la misura fornisce 1.034 ± 0.132, la forma corretta è: 1.0 ± 0.1. Se la misura dà: 1.034 ± 0.150, il modo corretto di scrivere il valore misurato è: 1.0 ± 0.2. Se la misura è: 1.035 ± 0.0132, il valore che bisogna riportare è: 1.04 ± 0.01. Se la misura è: 1.025 ± 0.0152, essa va riportata come: 1.02 ± 0.02.
Dagli esempi appena fatti si ricavano delle regole generali da usare per approssimare le cifre significative.

1.   Se la prima cifra non significativa è <5, il valore dell’ultima cifra significativa rimane inalterato (1.03, con 3 cifra non significativa, viene approssimato a 1.0; un errore del tipo 0.012, con 2 non significativo, viene approssimato a 0.01)

2.   Se la prima cifra non significativa è >5, il valore dell’ultima cifra significativa viene approssimato per eccesso (1.06, con 6 cifra non significativa, viene approssimato a 1.1; un errore del tipo 0.016, con 6 non significativo, viene approssimato a 0.02)

3.   Se la prima cifra non significativa è =5, il valore dell’ultima cifra significativa resta inalterato se è un numero pari o 0, viene approssimato per eccesso se è un numero dispari (1.05, con 5 non significativo, viene approssimato a 1.0; 1.25, con 5 non significativo, viene approssimato a 1.2; 1.15, con 5 non significativo, viene approssimato a 1.2; un errore del tipo: 0.015, con 5 non significativo, si approssima a 0.02; un errore del tipo: 0.025, con 5 non significativo, diventa: 0.02)

 

OPERAZIONE CON LE CIFRE SIGNIFICATIVE E PROPAGAZIONE DELL’ERRORE

Supponiamo di aver pesato due campioni su due bilance differenti di cui una consente di misurare il peso fino alla terza cifra decimale, l’altra, invece, fino alla seconda:
1.    1.001 g
2.    2.12 g

Le due pesate forniscono dei valori numerici con numero di cifre significative differenti. La prima pesata (1.001 g) dà un peso con 4 cifre significative mentre la seconda (2.12 g) esprime il peso con 3 cifre significative. Qual è il peso totale della miscela ottenuta mescolando 1.001 g del campione 1. e 2.12 g del campione 2.? Benché possa sembrare una domanda sciocca dal momento che il peso totale è dato dalla semplice somma dei pesi indicati, il risultato che si ottiene, in realtà, non è banale. Infatti la somma dei due pesi non è 3.121 g (come sarebbe normale da un’operazione matematica) ma 3.12 g. Il motivo è legato alla semplice regola per cui nelle operazioni in cui sono coinvolti valori sperimentali espressi con un numero di cifre significative differenti, il risultato si esprime usando il numero di cifre significative contenuto nel valore sperimentale che ne contiene di meno. Per questo motivo tra 3.121 g e 3.12 g, il risultato corretto è il secondo e non il primo. Infatti 3.12 g contiene 3 cifre significative, tante quante sono contenute nel valore del peso del campione 2.
Per rendere più chiara la regola appena elaborata, si incolonnino i numeri da sommare come si insegna alle scuole elementari:
1.001 +
2.12?
___________
3.12?

Il punto interrogativo sta ad indicare che non si conosce il valore della terza cifra decimale (o quarta cifra significativa) della pesata fatta con una bilancia la cui accuratezza si ferma alla seconda cifra decimale (ovvero al cg). Per questo motivo la somma tra un numero noto (la quarta cifra significativa della prima pesata) ed un numero non noto (la terza decimale della seconda pesata) non può restituire un numero noto (ovvero 1 da un punto di vista meramente matematico), ma deve dare un numero non noto. In altre parole, considerando solo la somma della terza decimale di entrambe le misure, si può scrivere: 1 + ? = ?
Un discorso del tutto analogo va fatto nel caso delle altre operazioni matematiche tra cifre significative.
Quando si effettuano operazioni matematiche tra misure sperimentali affette da errori, l’errore sul risultato finale non può mai essere più piccolo dell’errore da cui è affetta quella delle misure con l’errore più grande.
Supponiamo per esempio di fare un certo numero di pesate di un crogiuolo di porcellana per la misura dell’umidità di un campione di suolo. Il risultato medio della misura sul crogiuolo vuoto risulta: 10.004 ± 0.001 g. Si aggiunge al crogiuolo una quantità di suolo per cui il valore medio della misura di (crogiuolo + suolo) risulta: 10.112 ± 0.003 g. Quanto suolo è stato pesato? Ovviamente la quantità di suolo pesato corrisponde a (crogiuolo + suolo) – (crogiuolo vuoto) ovvero: (10.112 – 10.004) g = 0.108 g. Qual è l’errore sulla quantità di suolo pesato? Se si applicasse lo stesso principio usato per la differenza (crogiuolo + suolo) – (crogiuolo vuoto) risulterebbe un errore pari a ± 0.002, ovvero la quantità di suolo risulterebbe 0.108 ± 0.002 g. In altre parole, si verificherebbe il paradosso in base al quale l’accuratezza della differenza tra misure è maggiore rispetto a quella delle misure sul crogiuolo vuoto e su (crogiuolo + suolo). In realtà si dimostra che l’errore sulla differenza anzidetta si ottiene sommando gli errori delle singole misure. Per questo motivo, l’errore sulla quantità di suolo pesato si ottiene come: 0.001 + 0.003 = 0.004, da cui si ottiene che la quantità di suolo pesato è pari a 0.108 ± 0.004 g.

Dato un insieme di misure {Ai ± σi} le regole generali per la propagazione degli errori sono:

1.   Somma e differenza:
somma e differenza

 

Ovvero, nel caso di somma e differenza, l’errore è sempre dato dalla somma degli errori

2.   Prodotto e divisione:
prodotto e divisione

Ovvero, nel caso del prodotto, l’errore è dato dal prodotto tra il prodotto delle misure e la somma degli errori relativi. Nel caso del quoziente, l’errore si calcola come prodotto tra il rapporto delle misure e la somma degli errori relativi.

Esempio 4:
Date le due misure di lunghezza A = 1.02 ± 0.01 m e B = 2.03 ± 0.03 m, si determini la somma, la differenza, il prodotto e il quoziente tra di esse.

Somma:
A+B = (1.02±0.01)+(2.03±0.03) m = (1.02+2.03)±(0.01+0.03) m = 3.05±0.04 m

Differenza:
A–B = (2.03±0.03)–(1.02±0.01) m = (2.03–1.02)±(0.01+0.03) m = 1.01±0.04 m

Prodotto:
A×B = (2.03±0.03)×(1.02±0.01) m2 = (2.03×1.02)±[(2.03×1.02)×(0.03/2.03+0.01/1.02)] m2 =
2.07±2.07×(0.01+0.01) m2 =2.07±0.04 m2

Quoziente:
A/B = (2.03±0.03)/(1.02±0.01)= (2.03/1.02)±[(2.03/1.02)×(0.03/2.03+0.01/1.02)]=
1.99±1.99×(0.01+0.01)=1.99±0.04

 

2 risposte a Richiami di matematica di base per lo studio della chimica

  • ANDREA scrive:

    Nell’articolo si dice “tra 1.6 x 10elevato(-19) e 9.46 x 10elevato(15) ci sono ben 49 ordini di grandezza di differenza”; non vorrei sbagliarmi ma credo che gli ordini siano 34

  • L’articolo è molto chiaro. Ho notato qualche imprecisione tipografica il più evidente è nella tabella 1: il simbolo dell’unità della quantità di sostanza è mol non n.
    Saluti
    Sergio Stoccoro

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