integrale

Concetti matematici utili per la chimica (2° parte): integrali e metodo di separazione delle variabili

di Leonardo Petrillo

integrali matematiciQuesto articolo continua quanto iniziato nella 1° parte, ossia la descrizione, nel modo più semplice possibile, dei concetti matematici utili per la chimica.
Come anticipato, questa seconda parte sarà principalmente dedicata al processo inverso (ma altrettanto importante) della derivazione: l’integrazione.
Va segnalato fin d’ora che risolvere un integrale è un tantino più complicato rispetto allo svolgere una derivazione, tuttavia qui osserveremo solamente casi semplici e applicazioni in chimica e fisica delle regole illustrate.

IL CONCETTO DI INTEGRALE

Si consideri la funzione

Immagine 1

la quale può essere graficamente rappresentata in questo modo:

Immagine 2

La sua derivata, per via della regola di Leibniz, è semplicemente la costante 1/4 moltiplicata la derivata del polinomio che rimane, ovvero:

Immagine 3

Ma se si desiderasse tornare alla funzione di partenza partendo dalla derivata, cosa si dovrebbe fare?
Bisognerebbe semplicemente integrare la funzione derivata.
In simboli:

Immagine 4

Quel simbolo ∫ che assomiglia ad una sorta di s allungata è proprio il simbolo di integrale indefinito, mentre dx indica il cosiddetto differenziale della variabile di integrazione, il quale ci fa appunto capire in base a quale variabile bisogna integrare la funzione prescelta (nell’esempio, ovviamente in base alla x).
Ma come si procede?
Innanzitutto, nel caso dell’integrale di cui sopra, si può notare la presenza di una costante, che può essere semplicemente condotta fuori dall’integrale:

Immagine 5

Come nel processo di derivazione, quando si ha una somma algebrica di più funzioni da integrare, basta calcolare l’integrale della singola funzione e poi sommare il risultato all’integrale delle successive funzioni. Continua...

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